EDUARDO
MARROQUÍN REYES
C.B.T.I.S.
56
DERIVADA
COMO RAZÓN DE CAMBIO
México
Iguala,
Gro.
Febrero
de 2013
|
ÍNDICE
I.- Presentación……………………………………………………… 3
II.- Diagnóstico Socio-educativo…………………………………… 4
III.-
Fundamentación Didáctico-pedagógica………………………
9
IV.-
Reflexiones generales finales: conclusiones………………… 27
V.- Fuentes
de consulta…………………………………………………28
VI.-
Anexos…………………………………………………………………30
PRESENTACION
En el
marco de la especialidad: “Competencias
docentes para la educación media superior”, presento la propuesta didáctica
“La derivada como razón de cambio”,
en calidad de materia de evaluación de su segundo módulo.
La idea
de la propuesta surge de la necesidad de dar solución a la limitante de tiempo
que el programa de la asignatura Matemáticas IV (Cálculo Diferencial), le
otorga al tema de las aplicaciones de la derivada lo que, a la fecha, se
traduce en el tratamiento de los problemas de optimización, únicamente, dejando
de lado aspectos tan importantes como sus aplicaciones a la Física y a la
Geometría.
El
objetivo que se persigue, es diseñar un conjunto de actividades que permitan a
los alumnos tener acceso a las aplicaciones mencionadas de manera simultánea y
unitaria, con la finalidad de hacer más atractivo el curso a nuestros alumnos.
Los
conocimientos previos para cursar el Cálculo Diferencial incluyen: Algebra,
Geometría y Trigonometría y Geometría Analítica; las asignaturas subsecuentes
son Probabilidad y Estadística y Cálculo Integral.
Esto es,
se trata de una materia fundamentalmente formativa que, por una parte refleja
el hecho de que los alumnos han alcanzado la plenitud en el uso del
razonamiento lógico-formal al poder introducirse en el manejo de su
operatividad y, por la otra, que se encuentran en el punto exacto en el que
pueden catapultar su capacidad de análisis y síntesis, a través de su uso como
herramienta para resolver problemas de aplicación, en la antesala del
aprendizaje de su complemento: el Cálculo Integral.
Con éstos
antecedentes, la propuesta se da en el contexto de la RIEMS y del MCC, a
través del modelo de aprendizaje basado en
competencias.
Con ese
objetivo en mente se abordarán, sucesivamente, el diagnóstico socio educativo en el que se da la propuesta y su
fundamentación didáctico-pedagógica.
DIAGNOSTICO
SOCIO-EDUCATIVO
INTRODUCCION
Cualquier proceso
educativo, tiene como punto de partida el análisis cuidadoso de los elementos
sociales, culturales, de infraestructura, de relación entre docentes y entre
docentes y alumnos, que inciden en él, con objeto de definir las competencias
que se pretenden impulsar en relación con una situación problema previamente
seleccionada.
De ésta forma, son
las competencias por consolidar las que definen los contenidos por agotar durante el transcurso de un semestre
lectivo, y las que permiten capacitar a los educandos con objeto de que sepan
movilizar sus recursos cognitivos, procedimentales y actitudinales; para poder
así, construir su propio conocimiento.
De aquí la
importancia del diagnóstico que pueda formularse, en busca de optimizar los
recursos con que cuenta el docente, a efecto de que se convierta en un mediador
eficaz del proceso de aprendizaje de sus educandos.
EL CONTEXTO MUNDIAL
La Ciencia y la
Tecnología avanzan a un ritmo acelerado, como consecuencia de loa trabajos de
investigación que académicos y tecnólogos realizan por todos los puntos de la
geografía mundial, volviendo prácticamente imposible estar actualizado en todas
las áreas de especialización por el volumen de publicaciones y resultados que
se reportan, cotidianamente, en todos los campos del conocimiento.
Las nuevas
Tecnologías de la Comunicación y de la Información están dando un nuevo cariz a
la forma en que los avances del conocimiento se propagan entre la comunidad científica, eliminando fronteras
y distancias, contribuyendo a la universalización, flexibilización y aplicación
de los reportes de investigación emanados, no sólo de las Universidades y
Centros de Investigación de todo el mundo sino, también, de las empresas que
producen bienes que se ofertan en mercados globales muy competitivos.
Frente a ésta realidad,
se requiere un nuevo enfoque en los procesos de aprendizaje. No basta ya
conducirse en base a planes y programas de estudio cuya vigencia se ve
cuestionada día con día por la manera en que la actividad de investigación está
dando solución a los problemas planteados por la propia academia y por las
empresas.
La
suma de tales limitantes implica la formación de educandos capaces de construir
su propio conocimiento, de saber obtener, analizar y transformar la información
sin importar donde se haya generado, y de que puedan desempeñarse de manera
colegiada para aplicar los nuevos conocimientos en la solución de uno o varios
problemas, previamente seleccionados.
Estas son las
primeras competencias a tomar en cuenta, en el breve diagnóstico que se
propone.
Ya se han identificado con anterioridad, se
trata de las Competencias Genéricas.
FACTORES SOCIOCULTURALES Y ECONOMICOS DE
LA LOCALIDAD
La ciudad de Iguala
es cabecera municipal y asiento de las instalaciones que albergan al CBTIS 56, en la Avenida del Estudiante
No 1, colonia San José, en el Estado de Guerrero.
Con una población de
150 mil habitantes y con los servicios públicos operando, constituye un centro
comercial que extiende su influencia a las 16 comunidades que integran el municipio,
y a 8 municipios más, de la zona norte de Guerrero. (INEGI, Censo de población. 2010).
Además cuenta con una
infraestructura de servicios educativos que incluye los niveles, desde
elemental, hasta superior y posgrado. Esto, como reflejo de los avances que las
actividades económica y productiva han venido registrando durante los últimos
años incluyendo servicios públicos federales y estatales, como Transporte, Energía Eléctrica y Salud, a la par que los municipales: Agua
potable, limpia y drenaje
Adicionalmente a las
actividades comercial y educativa, la ciudad cuenta con una incipiente planta
industrial, por ahora, dedicada a las manufacturas; y práctica de la medicina
pública y privada de tercer nivel, mediante instalaciones hospitalarias de
Especialidad, a cargo del ISSSTE, IMSS y el Hospital General Regional,
dependiente de la SSA (Gobierno
Municipal).
Frente a la
diversidad de actividades que se desarrollan diariamente en la ciudad, y
tomando en cuenta que las fuerzas de seguridad y de la SEDENA salvaguardan el orden público; el nivel medio superior no enfrenta condiciones de alto riesgo y, como
opción educativa, tiene en la operación y el fomento de las Competencias Genéricas, Disciplinares y Profesionales (
básicas y/o extendidas), la herramienta necesaria para dar respuesta a las
expectativas de formación de los educandos, sea con la finalidad de
incorporarse al mercado laboral, ó de continuar con sus estudios de
licenciatura.
LA LOCALIDAD DEL PLANTEL
El servicio educativo
que la institución presta a la sociedad Igualteca se norma a través de lo
mandatado por su Misión-Visión: Formar personas con conocimientos
tecnológicos en las áreas industrial, comercial y de servicios, a través de la
preparación de bachilleres y profesionales técnicos, con el fin de contribuir
al desarrollo sustentable del país; y, Ser una institución de educación media
superior calificada, orientada al aprendizaje y desarrollo de conocimientos
tecnológicos humanísticos.
Las instalaciones del
CBTIS 56, pese a sus 39 años de operación, cuentan con espacios deportivos para la práctica del futbol ( una cancha
reglamentaria) y el basketbol (
cuatro canchas reglamentarias), que repercuten en el reforzamiento de las
relaciones personales entre los educandos y en el establecimiento de un
ambiente propicio para el desarrollo físico saludable de nuestros estudiantes.
Sus áreas verdes
contribuyen a darle una presentación atractiva, y sus seis módulos de 46 aulas
en total, albergan dos mil alumnos en los turnos matutino
y vespertino, cursando las especialidades de Análisis Clínicos, Electricidad,
Mantenimiento Industrial, Informática, Contabilidad y Soporte y Mantenimiento de
Equipos de Cómputo, atendidos por 90
docentes, con el apoyo de una sala
audio visual ( de 100 metros cuadrados con equipo para proyectar películas y
videos), y las oficinas de tutorías y
orientación educativa.
El
servicio de Internet en la totalidad de sus instalaciones, su biblioteca con un acervo de 1500 volúmenes, y sus laboratorios de Informática, Análisis
Clínicos, Física, así como su taller de
Electromecánica, representan una
opción vigente para capacitar a los educandos en relación a la adquisición de Competencias Disciplinares y Profesionales Básicas
e, incluso, extendidas.
Desde luego, los
laboratorios requieren de mantenimiento mayor; y su equipamiento, de
actualización.
Finalmente, no puede
pasarse por alto señalar la insuficiencia de equipamiento en cada aula ( que es
un espacio de 70 metros cuadrados en
promedio, con su pintarrón y entre 40 y
50 butacas para uso de los alumnos), con objeto de que los docentes
pudiéramos recurrir rutinariamente al uso de las Tecnologías de la Comunicación
y la Información en la presentación de temas por desarrollar ( actualmente se
cuenta con 6 cañones y 100 computadoras
como apoyo didáctico para tronco común y las especialidades).
LOS ALUMNOS
Enmarcado, como está,
el CBTIS 56 en una zona predominantemente urbana, nuestros alumnos provienen,
en un 85%, de esa área y el restante 15%, de comunidades rurales próximas a la
Cabecera Municipal (Fuente: Servicios
Escolares del plantel).
La mayor parte de
nuestros educandos son egresados de las Escuelas Secundarias de la localidad,
Técnicas y Generales, y sólo un 3%, cursó estudios del nivel medio en escuelas
particulares.
Usualmente, tenemos
grupos de hasta 58 estudiantes en primer
ingreso, por aula, pero su número va disminuyendo en semestres
subsecuentes, estabilizándose en alrededor de 45 alumnos en los últimos dos
semestres, con edades promedio que oscilan entre los 15 y 17 años.
Por tales motivos,
nuestros alumnos están familiarizados con el uso del Internet y tienen conocimientos
promedio en el manejo de las Tecnologías de la Comunicación y la Información, y
no presentan patrones de conducta
proclives a la violencia, en lo general.
Comienzan a incursionar
en la traducción de materiales en Inglés y asumen con normalidad la realización
de trabajos de investigación en equipo, aún cuando no descartan del todo el
desempeño individual en el trabajo académico.
Los problemas que se
presentan con la mayoría de nuestros estudiantes de nuevo ingreso, tienen que
ver con su bajo desempeño en las
asignaturas del Tronco Común: Matemáticas, Física y Química.
En cualquier caso,
como se puede concluir del Sociograma
y de las Formas de Relación entre Alumnos
y Docentes, hemos pasado por alto el potencial que representan los
liderazgos dentro de cada grupo, en calidad de catalizadores que nos pueden
permitir, a través de la retroalimentación con sus compañeros de clase y, al
mismo tiempo, redefinir patrones disciplinarios que permitan llevar a cabo el
trabajo académico en un ambiente de mayor distensión y entendimiento entre los
actores del proceso educativo.
Tratándose
del CBTIS 56, estamos en condiciones de garantizar que podemos llegar al nivel
de capacitar a nuestros educandos en Competencias Genéricas, Disciplinares y Profesionales,
Básicas y Extendidas.
LOS DOCENTES
A fuer de ser
sinceros, se reconoce que las autoridades de nuestro Plantel siempre han
mostrado disposición e interés en que la planta docente se actualice de manera
continua.
Aparte de los cursos
que la DGETI promueve para sus docentes, sobre todo en el caso de las
Especialidades que se imparten en los planteles que opera a nivel nacional, la
Dirección del plantel ha ofertado cursos de capacitación acordes con la RIEMS,
durante los últimos 6 años.
De entre ellos, los más frecuentes han sido para
aprender a elaborar Secuencias Didácticas con un enfoque centrado en Competencias de
manera correcta.
Mención especial
merece el curso de PROFORDEMS, que actualmente
cursamos, conteniendo los elementos sustanciales para tener una visión
panorámica e integral, no sólo de la RIEMS, sino de las formas y los medios que
podemos usar para, de manera organizada y planificada, llevar el proceso de
aprendizaje con el máximo de eficiencia, conociendo a profundidad el papel que
toca desarrollar en ésta empresa, a todos los actores del proceso: Gobierno,
Sociedad, Autoridades Educativas, Docentes, Alumnos y Padres de Familia.
En el CBTIS 56 somos
una comunidad interdisciplinaria que, en las reuniones de Academia, compartimos información acerca de los
avances que registramos en aula al término de cada Unidad, evaluamos los
cambios que tenemos que realizar en las Secuencias Didácticas frente a
cualquier contingencia, analizamos el status de grupos en los que se presentan
problemas de indisciplina, nos ponemos de acuerdo en cuanto a los reactivos por
aplicar y las formas de evaluación continua que se toman en cuenta para alentar
el trabajo académico de nuestros alumnos. Esta, es una de nuestras mayores fortalezas.
Las
condiciones de las instalaciones de nuestro plantel y la diversidad de
actividades académicas que se realizan diariamente, constituyen un aliciente
para que los docentes cumplan con la responsabilidad de construir un ambiente
académico que impulse el desarrollo personal y colectivo de nuestros alumnos,
en concordancia con lo mandatado por el acuerdo secretarial 477.
Nuestros
retos incluyen: Lo numeroso de los grupos que atendemos al inicio de cada
ingreso a nuestro nivel educativo, actualizar los conocimientos de los
estudiantes de primer ingreso en relación a las materias del Tronco Común,
establecer modelos disciplinarios consensados con los educandos que realmente funcionen,
definir estrategias de retroalimentación para los alumnos usando la
intermediación de líderes grupales capacitados en cada asignatura, y establecer
en todo momento situaciones problema para inducir su interés en la búsqueda de
soluciones prácticas que los lleven a identificar y comparar modelos teóricos
con la realidad.
FUNDAMENTACION DIDACTICO PEDAGOGICA
Según (Gladys Añorve, et al; 2010) “Estrategia
didáctica es el conjunto articulado de acciones
pedagógicas y actividades programadas con una finalidad educativa, apoyadas
en métodos y recursos de enseñanza y de
aprendizaje que facilitan alcanzar una meta y guían los pasos a seguir”. Esto
es, la estrategia didáctica busca
optimizar el proceso de enseñanza-aprendizaje.
En éste caso, la RIEMS el MCC postulan la
implementación de una estrategia didáctica que tiene como propósito facilitar
la adquisición de competencias genéricas, disciplinares y/o profesionales por
los estudiantes, como parte sustancial de su aprendizaje.
En tanto, el acuerdo secretarial 447 propone como competencias docentes: 1). Domina y
estructura saberes para facilitar experiencias de aprendizaje significativo,
2). Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque
por competencias y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y
sociales amplios, y 3). Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con
enfoque formativo.
Complementariamente, la RIEMS y el MCC sostienen que las
competencias genéricas mas las disciplinares son comunes a todos los
bachilleratos. (Díptico SEP, 2008)
Más aún, el contexto
representado por la RIEMS y el MCC, permite contrastar los enfoques conductista y constructivista de la
psicología educativa, en cuanto a su concepción de la manera de aprender, con objeto de discernir si los educandos están
en condiciones, o no, de desarrollar competencias siguiendo los lineamientos
trazados por cada uno de ellos.
De acuerdo a (Marqués,1999), “El conductismo, intenta explicar el
aprendizaje a partir de las siguientes leyes, comunes para todos los
individuos: Condicionamiento Operante.-
Formación de reflejos condicionados mediante mecanismos
estímulo-respuesta-refuerzos. Las acciones que tienen un refuerzo positivo
tienden a ser repetidas; Ensayo y error con repetición; Asociacionismo.-
Los conocimientos se elaboran estableciendo asociaciones entre los estímulos
que se captan. ( memorización mecánica)”.
Asumir los preceptos
conductistas supondría, tácitamente, que el aprendiz carece de percepciones propias
acerca de los contenidos por aprender, y que sólo reacciona mecánicamente ante
un estímulo determinado, siempre de la misma manera. Si, además, se asume que
los conocimientos se elaboran estableciendo asociaciones entre los estímulos
que se captan, como aceptar que el conocimiento puede transferirse del interior del educando para resolver un
problema suscitado en su entorno?.
Por lo que toca al constructivismo, (Frida Díaz Barriga y Gerardo Hernández: Constructivismo y Aprendizaje Significativo en Estrategias
Docentes para un Aprendizaje
significativo. McGraw-Hill. México, 1999.,3.), sostienen: “El constructivismo postula la existencia
de procesos activos en la construcción del conocimiento: habla de un sujeto
cognitivo que rebasa, a través de su labor constructiva, lo que le ofrece su
entorno”.
En éste caso, estamos frente
a un enfoque que postula la existencia de un aprendiz que asume un papel activo en la construcción del
conocimiento, que es capaz de asimilar la realidad en que vive, y de
transformarla.
Pero, desde el momento en
que se acepta ésta afirmación, se entiende que quien aprende está demostrando
que ha logrado transferir el conocimiento que le permitió transformar su
realidad, luego de haberla comprendido. Esto es, decimos que ha alcanzado una
competencia.
Para
el efecto, hay que recordar que una competencia se evidencia cuando se
relacionan los conocimientos previos de un ente cognoscente con la solución de
un problema dado previamente. Es decir, el logro de una competencia trae
aparejado el acomodamiento de los
conocimientos previos, a través de la organización de un conjunto de
esquemas cognitivos, necesarios para el efecto.
De
ésta manera, un esquema sirve de
base para explicar una acción o una operación singular, en tanto que lograr una
competencia compleja requiere poner en práctica varios esquemas al mismo tiempo, para comprender el proceso de su apropiación.
Es
así que, al reorganizar esquemas para enfrentar problemas, el individuo
cognoscente va conformando su concepción
de la realidad. Esto es, “la aprehensión de la realidad es siempre una
construcción asimilativa efectuada por el sujeto tanto como una acomodación (adaptación)
del sujeto”, ( Vargas, 2005).
Se concluye que: El aprendizaje es una construcción continua del sí mismo, bajo el
supuesto de que se trata de un aprendizaje significativo; es decir, que contribuye
al desarrollo del individuo cognoscente. (loc. cit)
Esto significa que el
educando adquiere un rol activo en el proceso, que se privilegia el aprendizaje
y que, en él, se involucran no sólo
elementos cognitivos sino, además, los procedimentales y los actitudinales,
pasando el docente a desempeñar un papel de coadyuvancia y no más de
protagonismo central.
La importancia del enfoque,
es que permite la articulación de
competencias. Esto es, al impulsar la movilización de los recursos
cognitivos, procedimentales y actitudinales de los educandos, se involucra el desarrollo simultáneo de
competencias genéricas y disciplinares y/o profesionales.
Por otra parte, se sostiene
que:
“a). El aprendizaje se facilita gracias a la
mediación o interacción con otros.
b). Es un proceso de reconstrucción de saberes
culturales.
c). Implica un proceso interno de
reorganización de esquemas.
d).Se produce cuando entra en conflicto lo que
el alumno ya sabe con lo que tiene
que saber.
e).
Se facilita con la construcción de puentes cognitivos entre lo nuevo y lo
familiar:” ( Ibid., 6).
Bajo tal perspectiva, son los contenidos ( que integran la
situación problemática por resolver), los que determinan las competencias por
desarrollar y, por tanto, la forma de evaluar.
Por otra parte, quedan
marcados los lineamientos a seguir con objeto de la creación de un ambiente que
propicie la realización de actividades
que permitan a los educandos la auto
construcción del conocimiento y la realización de trabajo colaborativo.
Es así que el constructivismo constituye la
fundamentación didáctico pedagógica de la RIEMS
y del MCC.
LA ESTRATEGIA DIDACTICA
Debido a que mi actividad
docente se centra en la enseñanza de las asignaturas de matemáticas y, en
especial del Cálculo Diferencial e Integral;
como punto de partida de la estrategia didáctica de aprendizaje que
propongo, he seleccionado la consideración del concepto de la derivada como razón de cambio.
Complementariamente, he
seleccionado como competencias genéricas
a considerar: 1). Escucha,
interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la
utilización de medios, códigos y herramientas apropiados, 2). Participa y
colabora de manera efectiva en equipos diversos; y como competencia disciplinar
articulada: 1). Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes
enfoques.
A lo largo de mi desempeño
docente, he encontrado resistencias en los educandos para entender el
significado del concepto derivada de una
función, porque representa un cambio en la manera de concebir los elementos
que definen un ente matemático, a la luz del enfoque tradicional, y de la
mecánica de su operatividad.
Cuando se define un ente
matemático en álgebra, geometría, trigonometría o geometría analítica, ésta se
vuelve un referente, punto de partida para acuñar nuevos conceptos.
(Aclarando
el punto, (Pere Marques; 1999), sostiene:
“De acuerdo al Socio constructivismo,
hay que incidir en la zona de desarrollo próximo, en la que la interacción con
los especialistas ofrece un andamiaje donde el aprendiz puede apoyarse”. A
propósito de la zona de desarrollo
próximo, Vigotsky la define como: “La distancia entre el nivel de
desarrollo real del niño tal y como puede ser determinado a partir de la
solución independiente de problemas, y el nivel más elevado de desarrollo
potencial tal y como es determinado por la resolución de problemas bajo la guía del adulto o en colaboración
con sus iguales más capacitados”. (loc.
cit.)).
Dicho en otras palabras, por
ejemplo en geometría, una vez establecido el Teorema de Pitágoras y revelada su validez para el caso de los triángulos rectángulos, la
consideración de la ley de los Senos o
la de los Cosenos, en trigonometría, tienen su referente en aquél e,
incluso, pueden deducirse sus expresiones algebraicas haciendo uso de la
contribución del matemático de Samos.
Por otra parte, el
agotamiento de los contenidos del Cálculo Diferencial e Integral, requieren del manejo de las operaciones
algebraicas básicas entre polinomios, de la factorización y de la capacidad
para resolver ecuaciones de primer y segundo grados, además de las simultáneas.
De modo análogo, se precisa del conocimiento de las
funciones trigonométricas y de las leyes de los senos y de los cosenos, además
del manejo de las ecuaciones e identidades trigonométricas y de las propiedades
de semejanza entre triángulos.
Igualmente, en el caso de la
geometría analítica, es necesario
que los educandos comprendan la conexión entre relaciones y funciones, su
representación gráfica y su representación analítica.
A su vez, el Cálculo
Diferencial e Integral constituye el
antecedente para el aprendizaje del Cálculo Avanzado, el Análisis
Matemático y las Ecuaciones Diferenciales, con todas sus implicaciones sobre las
ciencias aplicadas (Física, Química, Biología, Medicina, Ciencias de la
Computación, etc.), y las ciencias administrativas.
De aquí la importancia de
comprender la noción de Derivada, y su contraparte la Integral. Pues, en lo
referente a las aplicaciones, ambos
conceptos revelan su naturaleza como
unas de las herramientas más poderosas de las matemáticas.
Sin embargo, cuando se trata
del concepto de la derivada nos encontramos, en principio, con tres interpretaciones de la misma: a).
Su interpretación geométrica, b). Su
consideración como razón de cambio,
y c). Su naturaleza funcional. Cada
una de ellas, requiere de la comprensión de su esencia, para poder comprender
el rango de su aplicabilidad.
INTERPRETACION
GEOMETRICA DE LA DERIVADA
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a
confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente
a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.
Como lo muestra claramente
el esquema asociado: La derivada representa la pendiente de la recta tangente
a la gráfica de la función sobre la que se traza la secante inicial S, en el punto P. Función inicial que tiene
asociada una regla de correspondencia,
que no es otra cosa más que la expresión algebraica que conecta a las variables
x e y.
DERIVADA
COMO RAZON DE CAMBIO
El punto central de
controversia de las tres interpretaciones, para el alumno, tiene que ver con el
rol que desempeña el concepto de función,
que subyace en el trasfondo de cada argumentación.
En el caso de la
interpretación geométrica de la derivada, se considera la gráfica de la función
sobre la que se traza la secante. Como tal, está relacionada con la definición
de las variables independiente y dependiente
que dan cuenta de la expresión algebraica de su regla de correspondencia..
En el caso anterior, la
expresión simbólica para la derivada se escribe de la forma: dy/dx, como medio para mostrar que la
variable independiente viene
representada por la letra x y que,
la variable dependiente queda
identificada por la letra y.
Esto significa que la variación en la variable
independiente (dx), trae como consecuencia una variación en la variable dependiente ( dy), y que la expresión dy/dx puede interpretarse como el ente matemático que registra la
variación de la variable dependiente, conforme varía la independiente.
Este es el punto medular de
la discusión que nos ocupa. Pero,
además, la razón de cambio aludida es consecuencia del cambio en las variables
que definen a la función de partida, la función que se representa
simbólicamente como: y = f (x).
Por eso, si representamos
con una función el movimiento de un
cuerpo que se mueve con velocidad no constante, entonces la función tendrá
como variable independiente al tiempo (t),
como variable dependiente a su posición
( x), su función de partida tendrá la forma x = x ( t) y la expresión dx/dt
representará la velocidad
instantánea del móvil; esto es, la razón
de cambio de su posición con respecto al tiempo.
De modo análogo, si
representamos por h (variable
dependiente) la altura de la columna de un fluido en un recipiente, y por t (variable independiente) el tiempo
que transcurre a partir del momento en que comienza a salir a través de un
orificio ubicado en su base, la función de partida se representará por h = h ( t), y dh/dt representará la razón de cambio de la altura de la columna
del fluido, conforme transcurre el tiempo (
gasto).
El problema básico en
actividades de aplicación del tema, que he venido manejando con nuestros
estudiantes a lo largo de mi experiencia docente, reside en la dificultad de seleccionar las variables dependiente e
independiente, en cada caso
LA
DERIVADA COMO FUNCION
Como se aprecia en el esquema adjunto, a cada valor de la
variable independiente ( x), la
función derivada le asocia su pendiente, que es: dy/dx.
Esto significa que la función derivada, en cada caso, puede representarse
gráficamente como una función, que tiene un dominio, un codominio y una regla
de correspondencia.
Justamente, las distintas interpretaciones simultáneas que pueden darse al
concepto de derivada, constituyen la inercia que presentan los estudiantes
frente a tales contenidos, en una primera presentación, por lo que el docente debe clarificar el contexto de
cada interpretación a través de la planeación de actividades ad hoc y, en
lo posible, marcar las diferencias
mediante problemas de aplicación, para que los educandos comprendan la
versatilidad del concepto y de sus aplicaciones. En específico, éste es el propósito
de la estrategia didáctica seleccionada.
SECUENCIA DIDACTICA
Propósito de la Secuencia Didáctica: Capacitar a los estudiantes para que puedan calcular
velocidades y gastos, usando la derivada.
Competencias a Desarrollar y sus
Atributos
Competencias genéricas: 1). Escucha,
interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la
utilización de medios, códigos y herramientas apropiados, 2). Participa y
colabora de manera efectiva en equipos diversos. (Estas competencias se
articulan con la disciplinar: “Formula y resuelve problemas matemáticos,
aplicando diferentes enfoques”).
Sus Atributos, son: 1). Expresa
ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas, 2). Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para
obtener información y expresar ideas, 3). Propone maneras de solucionar un
problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con
pasos específicos.
Estas competencias, sus atributos y la disciplinar mencionada, constituyen
el contexto en el que tendrán lugar todas
las actividades definidas para las fases de apertura, desarrollo y cierre
de la secuencia didáctica.
Breve descripción de la estrategia
general: Adquiriendo los
estudiantes la capacidad de entender la naturaleza de las funciones
polinomiales y de obtener su derivada, podrán calcular velocidades y gastos.
Actividades de apertura
En ésta fase, tendrán lugar dos actividades: La realización de un exámen de
diagnóstico y la caracterización de las funciones polinomiales.
Tiempo asignado para la actividad 1: 2 horas.
Actividad 1: Examen diagnóstico.
Pregunta Uno.- Dados los polinomios:
5x4-3x3-2x2+x-5, x3-4x2+2x-3
encontrar su a). adición, b). resta, c). Multiplicación, y d). división.
Pregunta Dos.- Simplificar las siguientes expresiones.
a). 4x3+5x2-3x-8/
x1/2 ; b). (2x4+4x2+x)1/2/
x3/2 ; c). (3x5-4x3+x2-3)/ (x1/2)3/2
d). x-(x-1)1/2 =
3x-7 ;
e). x+ (4x+1)1/2= 5 ;
f). (5x-1)1/2+(x+3)1/2 = 4
Pregunta Tres.- Factoriza las siguientes expresiones:
a). 12x2-x-6 ;
b). 10y2+11y+3 ; c).
x6-8y12
; d). x12+y12
Actividades del docente y de los alumnos: El docente selecciona los reactivos del examen diagnóstico; los alumnos resuelven el cuestionario en
equipo y, al final, lo califican intercambiándolos entre equipos distintos.
Los materiales utilizados, son los cuestionarios, hojas de respuesta y lápices o
plumas.
Los productos, son: Los cuestionarios contestados.
Tiempo asignado para la actividad 2: 1 hora.
Actividad 2: En equipo, los alumnos
graficarán expresiones polinomiales como las siguientes:
X3-2x2+x-5 ; 2x2-3x+1 ; 3x2+5x-3
En cada caso, obtendrán: a). Puntos de corte con los ejes coordenados, b). Aplicando
la definición de función, determinarán cuáles de ellas lo son, c). La variación de la gráfica, conforme se
seleccionan diferentes intervalos como dominio de la función, y d). La derivada
de cada función.
Actividades del docente y de los alumnos: El docente mostrará que cada expresión polinomial, puede asociarse con
una función polinomial; los alumnos comprenderán
el significado geométrico de la correspondencia entre dominio y codominio de
una función.
Los materiales utilizados, son: la calculadora graficadora, la conexión a
internet, el cañón electrónico, la laptop, el software T-I, el pizarrón, su
cuaderno y su lápiz o pluma.
Los productos, son: las gráficas elaboradas y las derivadas obtenidas.
Actividades de desarrollo
Previo al inicio de ésta fase, el docente presentará gráficas
diversas de funciones a los alumnos, usando el cañón electrónico y el programa
de la calculadora T-inspire Cx Cas, de la Texas Instruments.
En ésta etapa, se realizarán tres actividades: a). Determinar la pendiente
de la tangente a una curva en un punto cualesquiera, b). Calcular la rapidez
con que se llena un depósito cilíndrico con agua, y c). Calcular el valor
mínimo que asume una función polinomial.
a). Tiempo asignado para la
actividad 1; 1 hora.
En equipo, los alumnos graficarán y derivarán la función f(x) = x3/3
– 2x2 + 3x – 8 y, en seguida, obtendrán los valores siguientes:
f´(0), f´(1), f´(2), f´(3), f´(4).
A continuación, interpretarán el significado geométrico de los resultados,
considerando que la derivada representa la pendiente de la tangente en un punto
cualquiera, de la función f(x).
Actividades del docente y de los alumnos: El docente construye la función que los alumnos habrán de graficar y
derivar, teniendo en mente orientar el resultado a fin de que los estudiantes
asocien la derivada en cada punto del dominio de f(x), con la pendiente de la
recta tangente en ese punto determinado; los alumnos reconocerán a la pendiente en un punto, como la derivada de
la función en ese punto, e
intercambiarán resultados.
Los materiales usados son: la
calculadora graficadora, la conexión a internet, el cañón electrónico, la
laptop, el software T-I, el pizarrón, el cuaderno y su lápiz o pluma.
Los productos son: La gráfica,
las pendientes obtenidas y su interpretación, entregados en un reporte, por
escrito, al docente.
b). Tiempo asignado a la actividad
2: 1 hora.
En trabajo colaborativo, los estudiantes resolverán el siguiente problema:
A un depósito cilíndrico de base circular y 5 m de radio, le está entrando agua
a razón de 100 lts/seg. Calcular la rapidez a la que sube la superficie del
agua.
En primer lugar, se pretende que los alumnos homologuen dimensiones. Esto
es, convierten los litros a metros cúbicos ó convierten los litros a
centímetros cúbicos y el radio a centímetros.
1). Por sencillez, conviene convertir los litros a metros cúbicos: 1 m3
equivale a 1000 litros.
2). Acto seguido, requerirán recordar la fórmula para calcular el volumen
de un cilindro circular recto: V = Pi r2h, donde r y h son,
respectivamente, el radio y la altura del cilindro.
3). A continuación, deberán discriminar la variable con respecto a la que
habrán de derivar. Desde luego, tendrá que ser t porque, es la que permitirá
dar expresión a al volumen de agua que ingresa al cilindro por unidad de
tiempo. Análogamente, habrán de observar que h varía en el problema conforme
transcurre el tiempo, y que r permanecerá constante.
4). Obtendrán la derivada del volumen respecto de la altura y, despejarán
la expresión que se les solicita:
dV / dt = Pi r2 dh / dt
y, de aquí: dV / dt / Pi r2
= dh / dt.
5). Sustituyendo: dh / dt = 0.250 m3/seg / (3.14) (25 m2)
= 0.025 m3 / seg.
Actividades del docente y de los alumnos: El docente seleccionará el tipo de problema por resolver, sobre la
base de que los alumnos tendrán que hacer un recuento de los conocimientos
previos para el efecto. Los alumnos resolverán
en equipo el problema propuesto, y presentarán
a sus compañeros otros procedimientos para la solución del problema
propuesto, en caso de haberlos.
Los materiales utilizados son: Calculadora
graficadora, cuaderno y lápiz o pluma.
Los productos son los reportes,
por escrito, que los alumnos presentarán al docente.
c). Tiempo asignado a la actividad
3: 1 hora.
1). De nueva cuenta, en trabajo colaborativo, los alumnos retomarán la
gráfica de la función elaborada en la actividad uno, y se les pide que hagan un
resumen, por escrito, del comportamiento de la función y los valores que toma
la pendiente en cada punto de la función, en el intervalo cerrado: [0,4].
2). Como resultado de la actividad anterior, interpretarán el significado
de las pendientes: positivas, negativas e iguales a cero.
3). Comparando la gráfica y los valores de la pendiente asimilarán el hecho
de que los valores extremos de una función ocurren en puntos del dominio en los
que la derivada vale cero.
Actividades del docente y de los alumnos: El docente seleccionará la función cuya gráfica haga explícita la
existencia de valores extremos de la función, en un intervalo dado del dominio.
Los alumnos entregarán el reporte de
la actividad, por escrito, al docente.
Materiales utilizados: Calculadora graficadora, cuaderno y lápiz o pluma.
Los productos: Son los reportes
y la gráfica analizada.
La competencia a desarrollar,
es: “Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando enfoques diferentes”.
Actividades de cierre
En ésta fase, se desarrollarán dos actividades: a). Solución de un problema
de velocidades, y b). Solución de un problema de gasto.
a). Tiempo asignado a la actividad
1: ½ hora.
Se propone a los estudiantes la solución, en equipo, del siguiente
problema: Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba deja de subir al cabo de
10 seg. ¿Con qué velocidad inicial fue lanzado y a que altura llegó?.
Los pasos que los alumnos van a dar, y sobre los que se les va a evaluar,
son los siguientes:
1.- Identificar la función que van a usar: ( s = vot – ½ gt2).
2.- Seleccionar las variables que definirán la solución: s y t.
3.- Escoger la variable independiente: t.
4.- Derivar la función respecto al tiempo: ( ds / dt = vo – gt
).
5.- El cuerpo deja de subir cuando: v = 0. Esto es: vo = gt.
6.- Así que, para t = 10 seg: vo = 98.1 m / seg.
7.- Por tanto: s = (98.1 m / seg)(10 seg) – ½ (9.81 m / seg2)(10
seg)2 = 490.5 m.
b). Tiempo asignado a la actividad
2: ½ hora.
Se pide a los alumnos resolver, en
equipo, el siguiente problema: Por el vértice de un embudo cónico, de radio 10
cm y altura 20 cm, sale agua a razón de 2 cm3/ seg. ¿Con qué rapidez
baja el nivel del líquido, cuando dicho nivel está a 4 cm del vértice?.
Los pasos a seguir por el alumno, son:
1.- Usar la función que define el volumen de un cono: V = 1 / 3 Pi r2h.
2.- Identificar las variables: Por las condiciones del problema, V, r y h
varían.
3.- Para que V se convierta en una función de una variable, se necesita
relacionar r y h, con objeto de que quede una sola variable independiente.
4.- Como se pregunta por la rapidez con que baja el nivel del líquido, la
variable independiente tiene que ser h.
5.- Se relaciona h con r a través de
la geometría del problema: r / h = 10 / 20. Esto es: r = h/2.
6.- Luego: V = (1/3)Pi(h/2)2h
y dV/dt = (1/12)Pi(3)h2(
dh/dt).
7.- O sea: dh/dt = 4/Pih2(dV/dt).
8.- Como el agua está saliendo del cono: dV/dt = -2 cm3/seg y h
= 4 cm:
dh/dt = - 1/ 2Pi.
(Problemas tomados del texto: Francisco
de la Borbolla, Luis de la Borbolla, Cálculo Diferencial e Integral. Esfinge,
México. 2000. 105 y 114).
Actividades del docente y los alumnos: El docente, en cada caso, seleccionará el problema por resolver,
incluyendo los elementos que le interese que trabajen los alumnos. Los alumnos resolverán los problemas
colaborando en equipo y entregarán su resumen, por escrito, al docente. Este, intercambiará los reportes de los
equipos para su evaluación.
Materiales utilizados: Cuadernos, lápices o plumas y calculadora
graficadora.
Los productos, son: Los reportes
de los alumnos, por escrito.
PLAN DE EVALUACION
El proceso Planeación
Evaluación constituye la columna vertebral de la RIEMS, porque tiene como
objetivo lograr el mejoramiento continuo del aprendizaje.
Esto es posible, bajo la
premisa de que se debe evaluar lo que se ha seleccionado enseñar previamente.
Desde luego, no hay que
olvidar que, en el marco constructivista, la
evaluación es una actividad sistemática y continua que tiene por finalidades:
a). Impulsar la formación personal de los educandos, b). Justipreciar el
rendimiento de los estudiantes, tomando como referencia la capacidad, esfuerzo
y estado previo de los saberes de cada uno de ellos, y, c). Mejorar permanente
el proceso educativo, en base a detectar y replantear sus deficiencias.
Ahora bien, ¿cómo detectar las deficiencias para
replantearlas?: determinando lo que hay que evaluar en el caso de los
contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales en los que se
involucre a los estudiantes.
En el ámbito conceptual, los conocimientos que
pueden desglosarce como información, comprensión o relación, deben
considerarse; además de la asimilación de conceptos y sistemas conceptuales, y
de la aptitud para relacionar acontecimientos, hechos y conceptos.
En lo que toca al área procedimental, no puede pasarse por
alto la habilidad de los alumnos para manejar métodos, técnicas y
procedimientos, su capacidad para pensar y resolver problemas, así como de análisis y síntesis.
La parte actitudinal tiene que ver con el
desarrollo de valores personales y sociales. Cualidades sustanciales para que
exista un trabajo colaborativo.
Una vez considerado lo que hay que evaluar,
sigue la consideración de ¿cuándo hay
que evaluar?, por la sencilla razón de que necesitamos identificar las
insuficiencias con la finalidad de corregirlas y mejorar así, el proceso
educativo.
Dado que el agotamiento de
cualquier contenido marca el fin de cada ciclo de aprendizaje y predispone al
inicio del siguiente, consideramos una evaluación
inicial, la evaluación formativa (que
nos permite reajustar las estrategias didácticas que seguimos en el aula, en
base a detectar las dificultades e insuficiencias de los alumnos), y la evaluación sumativa ( que nos permite
evaluar el producto que presentan los alumnos al final de cada una de las fases
del proceso de aprendizaje).
Siguiendo con nuestra
secuencia, procedemos ahora a definir los elementos del proceso de evaluación:
Las competencias a evaluar.
Los aprendizajes seleccionados, que orientan el desarrollo de las
competencias.
Los productos o evidencias, que muestran el desempeño de los
estudiantes durante o al final del proceso educativo planeado.
Los indicadores de desempeño: Etiquetas que indican lo que hay que
evaluar.
Los criterios de evaluación: Establecen el tipo de desempeño que se
quiere evaluar, del alumno, en un contexto determinado.
Los parámetros: Indican la calidad del desempeño que se evalúa.
Los instrumentos para evaluar el producto o desempeño en cuestión;
involucran los indicadores, los criterios y parámetros de evaluación.
Los momentos del proceso educativo: en éste caso, las evaluaciones
inicial, formativa y sumativa.
El porcentaje de la valoración que se le asigna a cada criterio de
evaluación.
JUSTIFICACION
(Román,
R y Diez, E (1989) en Blanco, O. E. Tendencias de
la Evaluación de Aprendizajes en Revista Teoría de Didáctica de las Ciencias
Sociales, enero diciembre, No. 009. Universidad de los andes. Mérida Venezuela,
2004. pp. 111-130), sostienen que los paradigmas fundamentales en
psicología y educación vigentes en el siglo XX, son: a), Paradigma conductista, b). Paradigma cognitivo y c). Paradigma ecológico.
Para el paradigma conductista, la evaluación gravita en
torno al producto y del cambio de
conducta que adquiere el estudiante al final de la jornada de aprendizaje,
ignorando los pasos intermedios que los educandos tengan que llevar a cabo para
apropiarse del conocimiento.
(Román,
M y Diez, E. 1989, 57), a propósito del conductismo
sostienen: “El modelo de enseñanza subyacente, es un modelo que al condicionar,
facilita el aprendizaje. La enseñanza se convierte en una manera de adiestrar-condicionar para así aprender-almacenar..”.
No obstante, por estas
características, la evaluación conductista se aplica actualmente, en referencia
a la evaluación de procesos como el manejo de algoritmos matemáticos, la asimilación de hechos históricos, o la aprehensión de datos que precisan de repetición para su memorización (conocimientos
factuales).
En contraste, el paradigma cognitivo considera el proceso de
aprendizaje centrado en el estudiante,
y asigna al docente el status de mediador.
Uno de los aportes
fundamentales de éste enfoque, está relacionado con la autoconstrucción del conocimiento, por parte de los alumnos.
El punto fino, aquí, tiene
que ver con la manera en que describe la generación de un nuevo conocimiento, a
partir de otro relacionado, que le
antecede en la línea de tiempo: Es necesario plantear un conflicto cognitivo entre los nuevos contenidos y los saberes
previos que, al final, favorezca su enlace.
Por su parte, el enfoque ecológico es el que estudia la
evaluación a partir de las relaciones que se establecen entre el sujeto y el
entorno en el cual se desarrollan las actividades.
Para (Román, M y Diez, E. 1995, 9),”
éste enfoque utiliza como metáfora básica el escenario de la conducta escolar y
se preocupa sobre todo por las interrelaciones persona-grupo y persona-grupo-medio
ambiente. El aprendizaje contextual y compartido es una de sus principales
manifestaciones”.
Adicionalmente, en la línea
de éste enfoque, (Domínguez, G y Mesona,
J., 1996; 357), rechazan el concepto de evaluación como control; “la
evaluación tiene sentido como una valoración del proceso en el que tanto el
evaluador como el evaluado forman un
solo equipo y han participado y pactado la definición de los criterios que
van a servir como puntos de referencia en la evaluación”.
De éste enfoque, se
desprende la necesidad de realizar evaluación
y co evaluación del proceso de
aprendizaje, No sólo esto, también postula la realización de evaluaciones
colegiadas en el que se cubran aspectos diversos de la actividad escolar de los
educandos.
RUBRICA
Competencias
|
Principales
atributos
|
Escucha,
interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la
utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participa
y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Formula
y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
|
. Expresa ideas y conceptos mediante
representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
.
Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener
información y expresar ideas.
.
Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en
equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
|
Competencia
|
Indicadores
|
Tecnológica
Navega en internet.
Cognitiva
En relación al tema “Derivada como razón de
cambio”.
Procedimental
En
el desarrollo del tema.
Actitudinal
Durante
el trabajo escolar.
|
Demostró
saber realizar las actividades siguientes:
.
Accesar a cualquier página
.
Baja información de Cálculo Diferencial
.
Distinguió las tres interpretaciones de la derivada
.
Asoció correctamente el valor de la derivada en un punto con el valor de su
pendiente.
.
Identificó los valores máximo y mínimo de una función
.
Comprendió el criterio para localizar y obtener valores máximo y mínimo de
una función
.
Asimiló la manera de aplicar el concepto razón de cambio a problemas reales.
.
Graficó correctamente las funciones
.
Aplicó correctamente la fórmula para derivar una potencia, sea de un monomio
o de un binomio.
.
Participó en el trabajo en equipo
.
Aportó elementos para la solución de los problemas.
.Trató
respetuosamente a sus compañeros.
|
La evaluación se hará por áreas, con la siguiente escala:
Nivel de realización óptimo: 3.
Nivel medio: 2.
Nivel bajo: 1.
No lo hizo: 0.
RECURSOS DIDACTICO PEDAGOGICOS
En el caso que nos ocupa, los recursos didácticos a utilizar, son:
Cañón Electrónico, Programa
Operativo de la Calculadora T-Inspire Cx CAS, Calculadora graficadora T-Inspire
Cx CAS, Pantalla de Proyección, Marcador láser, Pintarrón y Marcadores,
Cuadernos y Plumas, Servicio de Internet.
Los recursos didácticos utilizados forman parte de la mediación que lleva a cabo el docente, y tienen por finalidad
propiciar un ambiente que contribuya a la generación de aprendizajes significativos en los alumnos.
En el caso de las actividades de
apertura, la mediación se da a través de la graficación de funciones pues,
al trazar sus puntos de corte con los ejes, el alumno adquiere una noción
intuitivo-visual de las características más importantes de las curvas
polinomiales, aprecia sus curvaturas y los puntos donde cambia de dirección.
En las actividades de desarrollo, gráficamente
aprecia las diferencias entre derivada como pendiente de la tangente a la curva
en un punto cualesquiera, como razón de cambio y como función.
El uso de la calculadora graficadora le permite distinguir un valor máximo
de otro mínimo y de asimilar el hecho de que, tales valores de la función,
ocurren cuando la pendiente de la tangente en cualquier punto es cero (asume
una posición horizontal).
En las actividades de cierre, el
uso del internet permite proyectar en pantalla distintos tipos de funciones y,
lo que es más importante, que el alumno entienda que las funciones bajo
consideración pueden ser modeladas (deducidas), a partir de las condiciones
específicas de cada problema.
REFLEXIONES GENERALES
FINALES: CONCLUSIONES
Resta, finalmente, ponderar las implicaciones de la construcción del diseño
de la estrategia didáctica que propongo.
a). Desde el punto de vista teórico,
consideré de manera fundamental propiciar en el desarrollo de actividades de la
estrategia didáctica, impulsar el trabajo colaborativo, la autoevaluación y la
coevaluación entre los alumnos dada la importancia que éstos elementos tienen
en el proceso de aprendizaje (Corredor,
2003,p. 3-7).
De modo análogo, al plantear en la propuesta la necesidad de que los
estudiantes tomen un rol activo en la construcción de su conocimiento, al
detallar actividades en las que el peso de la acción de enlazar conocimientos
previos con los nuevos recae en ellos, pretendo propiciar la obtención de
evidencias que permitan hacer una evaluación integral de su desempeño (Tobón,2008,d. 26-28).
En ambos casos, el objetivo fue generar aprendizajes significativos.
b). En cuanto a la metodología,
rescato la técnica discursiva como medio de interacción entre docente-alumnos y
entre los propios alumnos, como forma complementaria para que, con la mediación
(Hernández, 2010,1-3) del uso de la
laptop y de la calculadora graficadora, las interpretaciones de la derivada
sean esclarecidas.
c). Las consecuencias prácticas de
la propuesta conllevan a facilitar el acceso a la comprensión posterior de la
función integral, y sus aplicaciones. Con esto, se propicia que los educandos
adquieran una visión mejor estructurada del Cálculo Diferencial e Integral, y
entiendan mejor la naturaleza de sus aplicaciones.
d). La propuesta queda enmarcada en el contexto de la RIEMS y del MCC, toda
vez que la estructura de su planeación comprende
la articulación de competencias genéricas con las disciplinares.
FUENTES DE CONSULTA
Añorve Gladys, et. al, 2000. Estrategia Didáctica en Especialización en
Competencias Docentes para la Educación Media Superior. UPN. México, D.F.
Blanco O. E. 2004. Tendencias de la Evaluación de Aprendizajes en Revista:
Teoría Didáctica de las Ciencias Sociales, Enero-Diciembre No. 009. Universidad
de los Andes. Mérida, Venezuela.
Corredor Martha. 2003. El Aprendizaje Colaborativo: Una Estrategia de
Aprendizaje para la Vida. UIS, Bucaramanga.
De la Borbolla Francisco y De la Borbolla Luis. 2000. Cálculo Diferencial e
Integral. Esfinge. México, D.F.
Díaz Frida y Hernández Gerardo. 1999. Constructivismo y Aprendizaje
Significativo en Estrategias Docentes para un Aprendizaje Significativo.
Mac.Graw-Hill. México.
G. y Mesona (Coordinadores). 1996. Manual de Organización de Instituciones
Educativas. Madrid: Escuela Española.
INEGI. 2010. Censo de Población y Vivienda. INEGI. México, D.F.
Marqués Pere. 1999. Concepciones sobre el Aprendizaje. UAB.
Prieto Ana María (Coordinadora). 2010. El Proceso Didáctico como Proceso de
Comunicación y sentido de la mediación Pedagógica. UPN. México, D.F.
SEP. 2008. Acuerdo Secretarial 447. SEP. México, D.F.
SEP (Díptico). 2008. Perfil del Egresado en la Educación Media Superior.
SEP. México, D.F.
Vargas Xavier. 2005. El Aprendizaje y el Desarrollo de las Competencias en
Reporte sobre las Competencias. ITESO.
www.vitutor.com/fun/4/a.3_html