domingo, 7 de abril de 2013

Propuesta de Intervención


 

 

 

 


 
 
EDUARDO MARROQUÍN REYES
 
 
C.B.T.I.S. 56
 
 
DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO
 
 
México
 
Iguala, Gro.
 
Febrero de 2013
 
 
 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


ÍNDICE

 

 

I.-   Presentación………………………………………………………    3

 

 

II.-  Diagnóstico Socio-educativo……………………………………  4

 

 

III.- Fundamentación Didáctico-pedagógica………………………    9

 

 

IV.- Reflexiones generales finales: conclusiones………………… 27

 

 

V.- Fuentes de consulta…………………………………………………28

 

 

VI.- Anexos…………………………………………………………………30

 

 

 

 

 PRESENTACION

 

En el marco de la especialidad: “Competencias docentes para la educación media superior”, presento la propuesta didáctica “La derivada como razón de cambio”, en calidad de materia de evaluación de su segundo módulo.

La idea de la propuesta surge de la necesidad de dar solución a la limitante de tiempo que el programa de la asignatura Matemáticas IV (Cálculo Diferencial), le otorga al tema de las aplicaciones de la derivada lo que, a la fecha, se traduce en el tratamiento de los problemas de optimización, únicamente, dejando de lado aspectos tan importantes como sus aplicaciones a la Física y a la Geometría.

El objetivo que se persigue, es diseñar un conjunto de actividades que permitan a los alumnos tener acceso a las aplicaciones mencionadas de manera simultánea y unitaria, con la finalidad de hacer más atractivo el curso a nuestros alumnos.

Los conocimientos previos para cursar el Cálculo Diferencial incluyen: Algebra, Geometría y Trigonometría y Geometría Analítica; las asignaturas subsecuentes son Probabilidad y Estadística y Cálculo Integral.

Esto es, se trata de una materia fundamentalmente formativa que, por una parte refleja el hecho de que los alumnos han alcanzado la plenitud en el uso del razonamiento lógico-formal al poder introducirse en el manejo de su operatividad y, por la otra, que se encuentran en el punto exacto en el que pueden catapultar su capacidad de análisis y síntesis, a través de su uso como herramienta para resolver problemas de aplicación, en la antesala del aprendizaje de su complemento: el Cálculo Integral.

Con éstos antecedentes, la propuesta se da en el contexto de la RIEMS y del MCC, a través del modelo de aprendizaje basado en competencias.

Con ese objetivo en mente se abordarán, sucesivamente, el diagnóstico socio educativo en el que se da la propuesta y su fundamentación didáctico-pedagógica.

 

 

 

DIAGNOSTICO SOCIO-EDUCATIVO

 

 

INTRODUCCION

Cualquier proceso educativo, tiene como punto de partida el análisis cuidadoso de los elementos sociales, culturales, de infraestructura, de relación entre docentes y entre docentes y alumnos, que inciden en él, con objeto de definir las competencias que se pretenden impulsar en relación con una situación problema previamente seleccionada.

De ésta forma, son las competencias por consolidar las que definen los contenidos por agotar durante el transcurso de un semestre lectivo, y las que permiten capacitar a los educandos con objeto de que sepan movilizar sus recursos cognitivos, procedimentales y actitudinales; para poder así, construir  su propio conocimiento.

De aquí la importancia del diagnóstico que pueda formularse, en busca de optimizar los recursos con que cuenta el docente, a efecto de que se convierta en un mediador eficaz del proceso de aprendizaje de sus educandos.

EL CONTEXTO MUNDIAL

La Ciencia y la Tecnología avanzan a un ritmo acelerado, como consecuencia de loa trabajos de investigación que académicos y tecnólogos realizan por todos los puntos de la geografía mundial, volviendo prácticamente imposible estar actualizado en todas las áreas de especialización por el volumen de publicaciones y resultados que se reportan, cotidianamente, en todos los campos del conocimiento.

Las nuevas Tecnologías de la Comunicación y de la Información están dando un nuevo cariz a la forma en que los avances del conocimiento se propagan entre  la comunidad científica, eliminando fronteras y distancias, contribuyendo a la universalización, flexibilización y aplicación de los reportes de investigación emanados, no sólo de las Universidades y Centros de Investigación de todo el mundo sino, también, de las empresas que producen bienes que se ofertan en mercados globales muy competitivos.

Frente a ésta realidad, se requiere un nuevo enfoque en los procesos de aprendizaje. No basta ya conducirse en base a planes y programas de estudio cuya vigencia se ve cuestionada día con día por la manera en que la actividad de investigación está dando solución a los problemas planteados por la propia academia y por las empresas.

La suma de tales limitantes implica la formación de educandos capaces de construir su propio conocimiento, de saber obtener, analizar y transformar la información sin importar donde se haya generado, y de que puedan desempeñarse de manera colegiada para aplicar los nuevos conocimientos en la solución de uno o varios problemas, previamente seleccionados.

Estas son las primeras competencias a tomar en cuenta, en el breve diagnóstico que se propone.

 Ya se han identificado con anterioridad, se trata de las Competencias Genéricas.

FACTORES SOCIOCULTURALES Y ECONOMICOS DE LA LOCALIDAD

La ciudad de Iguala es cabecera municipal y asiento de las instalaciones que albergan al CBTIS 56, en la Avenida del Estudiante No 1, colonia San José, en el Estado de Guerrero.

Con una población de 150 mil habitantes y con los servicios públicos operando, constituye un centro comercial que extiende su influencia a las 16 comunidades que integran el municipio, y a 8 municipios más, de la zona norte de Guerrero. (INEGI, Censo de población. 2010).

Además cuenta con una infraestructura de servicios educativos que incluye los niveles, desde elemental, hasta superior y posgrado. Esto, como reflejo de los avances que las actividades económica y productiva han venido registrando durante los últimos años incluyendo servicios públicos federales y estatales, como  Transporte, Energía Eléctrica y  Salud, a la par que los municipales: Agua potable, limpia y drenaje

Adicionalmente a las actividades comercial y educativa, la ciudad cuenta con una incipiente planta industrial, por ahora, dedicada a las manufacturas; y práctica de la medicina pública y privada de tercer nivel, mediante instalaciones hospitalarias de Especialidad, a cargo del ISSSTE, IMSS y el Hospital General Regional, dependiente de la SSA (Gobierno Municipal).

Frente a la diversidad de actividades que se desarrollan diariamente en la ciudad, y tomando en cuenta que las fuerzas de seguridad y de la SEDENA salvaguardan el orden público; el nivel medio superior no enfrenta condiciones de alto riesgo y, como opción educativa, tiene en la operación y el fomento de las Competencias  Genéricas, Disciplinares y Profesionales ( básicas y/o extendidas), la herramienta necesaria para dar respuesta a las expectativas de formación de los educandos, sea con la finalidad de incorporarse al mercado laboral, ó de continuar con sus estudios de licenciatura.

LA LOCALIDAD DEL PLANTEL

El servicio educativo que la institución presta a la sociedad Igualteca se norma a través de lo mandatado por su Misión-Visión: Formar personas con conocimientos tecnológicos en las áreas industrial, comercial y de servicios, a través de la preparación de bachilleres y profesionales técnicos, con el fin de contribuir al desarrollo sustentable del país; y, Ser una institución de educación media superior calificada, orientada al aprendizaje y desarrollo de conocimientos tecnológicos humanísticos.

Las instalaciones del CBTIS 56, pese a sus 39 años de operación, cuentan con espacios deportivos  para la práctica del futbol ( una cancha reglamentaria) y el basketbol ( cuatro canchas reglamentarias), que repercuten en el reforzamiento de las relaciones personales entre los educandos y en el establecimiento de un ambiente propicio para el desarrollo físico saludable de nuestros estudiantes.

Sus áreas verdes contribuyen a darle una presentación atractiva, y sus seis módulos de 46 aulas en total,  albergan dos mil alumnos en los turnos matutino y vespertino, cursando las especialidades de Análisis Clínicos, Electricidad, Mantenimiento Industrial, Informática, Contabilidad y Soporte y Mantenimiento de Equipos de Cómputo, atendidos por 90 docentes, con el apoyo de una sala audio visual ( de 100 metros cuadrados con equipo para proyectar películas y videos), y las oficinas de tutorías y  orientación educativa.

El servicio de Internet en la totalidad de sus instalaciones, su biblioteca con un acervo de 1500 volúmenes, y sus laboratorios de Informática, Análisis Clínicos, Física, así como su taller de Electromecánica, representan una opción vigente para capacitar a los educandos en relación a la adquisición de  Competencias Disciplinares y Profesionales Básicas e, incluso, extendidas.

Desde luego, los laboratorios requieren de mantenimiento mayor; y su equipamiento, de actualización.

Finalmente, no puede pasarse por alto señalar la insuficiencia de equipamiento en cada aula ( que es un espacio de 70 metros cuadrados en promedio, con su pintarrón y entre 40 y 50 butacas para uso de los alumnos), con objeto de que los docentes pudiéramos recurrir rutinariamente al uso de las Tecnologías de la Comunicación y la Información en la presentación de temas por desarrollar ( actualmente se cuenta con 6 cañones y 100 computadoras como apoyo didáctico para tronco común y las especialidades).

LOS ALUMNOS

Enmarcado, como está, el CBTIS 56 en una zona predominantemente urbana, nuestros alumnos provienen, en un 85%, de esa área y el restante 15%, de comunidades rurales próximas a la Cabecera Municipal (Fuente: Servicios Escolares del plantel).

La mayor parte de nuestros educandos son egresados de las Escuelas Secundarias de la localidad, Técnicas y Generales, y sólo un 3%, cursó estudios del nivel medio en escuelas particulares.

Usualmente, tenemos grupos de hasta 58 estudiantes en primer ingreso, por aula, pero su número va disminuyendo en semestres subsecuentes, estabilizándose en alrededor de 45 alumnos en los últimos dos semestres, con edades promedio que oscilan entre los 15 y 17 años.

Por tales motivos, nuestros alumnos están familiarizados con el uso del Internet y tienen conocimientos promedio en el manejo de las Tecnologías de la Comunicación y la Información, y no presentan patrones de conducta proclives a la violencia, en lo general.

Comienzan a incursionar en la traducción de materiales en Inglés y asumen con normalidad la realización de trabajos de investigación en equipo, aún cuando no descartan del todo el desempeño individual en el trabajo académico.

Los problemas que se presentan con la mayoría de nuestros estudiantes de nuevo ingreso, tienen que ver con su bajo desempeño en las asignaturas del Tronco Común: Matemáticas, Física y Química.

En cualquier caso, como se puede concluir del Sociograma y de las Formas de Relación entre Alumnos y Docentes, hemos pasado por alto el potencial que representan los liderazgos dentro de cada grupo, en calidad de catalizadores que nos pueden permitir, a través de la retroalimentación con sus compañeros de clase y, al mismo tiempo, redefinir patrones disciplinarios que permitan llevar a cabo el trabajo académico en un ambiente de mayor distensión y entendimiento entre los actores del proceso educativo.    

Tratándose del CBTIS 56, estamos en condiciones de garantizar que podemos llegar al nivel de capacitar a nuestros educandos en Competencias Genéricas, Disciplinares y Profesionales, Básicas y Extendidas.

LOS DOCENTES

A fuer de ser sinceros, se reconoce que las autoridades de nuestro Plantel siempre han mostrado disposición e interés en que la planta docente se actualice de manera continua.

Aparte de los cursos que la DGETI promueve para sus docentes, sobre todo en el caso de las Especialidades que se imparten en los planteles que opera a nivel nacional, la Dirección del plantel ha ofertado cursos de capacitación acordes con la RIEMS, durante los últimos 6 años.

De entre  ellos, los más frecuentes han sido para aprender a elaborar  Secuencias Didácticas con un enfoque centrado en Competencias de manera correcta.

Mención especial merece el curso de PROFORDEMS, que actualmente cursamos, conteniendo los elementos sustanciales para tener una visión panorámica e integral, no sólo de la RIEMS, sino de las formas y los medios que podemos usar para, de manera organizada y planificada, llevar el proceso de aprendizaje con el máximo de eficiencia, conociendo a profundidad el papel que toca desarrollar en ésta empresa, a todos los actores del proceso: Gobierno, Sociedad, Autoridades Educativas, Docentes, Alumnos y Padres de Familia.

En el CBTIS 56 somos una comunidad interdisciplinaria que, en las reuniones de Academia, compartimos información acerca de los avances que registramos en aula al término de cada Unidad, evaluamos los cambios que tenemos que realizar en las Secuencias Didácticas frente a cualquier contingencia, analizamos el status de grupos en los que se presentan problemas de indisciplina, nos ponemos de acuerdo en cuanto a los reactivos por aplicar y las formas de evaluación continua que se toman en cuenta para alentar el trabajo académico de nuestros alumnos. Esta, es una de nuestras mayores fortalezas.

Las condiciones de las instalaciones de nuestro plantel y la diversidad de actividades académicas que se realizan diariamente, constituyen un aliciente para que los docentes cumplan con la responsabilidad de construir un ambiente académico que impulse el desarrollo personal y colectivo de nuestros alumnos, en concordancia con lo mandatado por el acuerdo secretarial 477.

Nuestros retos incluyen: Lo numeroso de los grupos que atendemos al inicio de cada ingreso a nuestro nivel educativo, actualizar los conocimientos de los estudiantes de primer ingreso en relación a las materias del Tronco Común, establecer modelos disciplinarios consensados  con los educandos que realmente funcionen, definir estrategias de retroalimentación para los alumnos usando la intermediación de líderes grupales capacitados en cada asignatura, y establecer en todo momento situaciones problema para inducir su interés en la búsqueda de soluciones prácticas que los lleven a identificar y comparar modelos teóricos con la realidad.

FUNDAMENTACION DIDACTICO PEDAGOGICA

Según (Gladys Añorve, et al; 2010) Estrategia didáctica es el conjunto articulado de acciones pedagógicas y actividades programadas con una finalidad educativa, apoyadas en métodos y recursos de enseñanza y de aprendizaje que facilitan alcanzar una meta y guían los pasos a seguir”. Esto es, la estrategia didáctica busca optimizar el proceso de enseñanza-aprendizaje.

En éste caso, la RIEMS el MCC postulan la implementación de una estrategia didáctica que tiene como propósito facilitar la adquisición de competencias genéricas, disciplinares y/o profesionales por los estudiantes, como parte sustancial de su aprendizaje.

En tanto, el acuerdo secretarial 447 propone como competencias docentes: 1). Domina y estructura saberes para facilitar experiencias de aprendizaje significativo, 2). Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y sociales amplios, y 3). Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con enfoque formativo.

Complementariamente, la RIEMS y el MCC sostienen que las competencias genéricas mas las disciplinares son comunes a todos los bachilleratos. (Díptico SEP, 2008)

Más aún, el contexto representado por la RIEMS y el MCC, permite contrastar los enfoques conductista y constructivista de la psicología educativa, en cuanto a su concepción de la manera de aprender, con objeto de discernir si los educandos están en condiciones, o no, de desarrollar competencias siguiendo los lineamientos trazados por cada uno de ellos.

De acuerdo a (Marqués,1999), “El conductismo, intenta explicar el aprendizaje a partir de las siguientes leyes, comunes para todos los individuos: Condicionamiento Operante.- Formación de reflejos condicionados mediante mecanismos estímulo-respuesta-refuerzos. Las acciones que tienen un refuerzo positivo tienden a ser repetidas;  Ensayo y error con repetición; Asociacionismo.- Los conocimientos se elaboran estableciendo asociaciones entre los estímulos que se captan. ( memorización mecánica)”.

Asumir los preceptos conductistas supondría, tácitamente, que el aprendiz carece  de percepciones propias acerca de los contenidos por aprender, y que sólo reacciona mecánicamente ante un estímulo determinado, siempre de la misma manera. Si, además, se asume que los conocimientos se elaboran estableciendo asociaciones entre los estímulos que se captan, como aceptar que el conocimiento puede transferirse del interior del educando para resolver un problema suscitado en su entorno?.

Por lo que toca al constructivismo, (Frida Díaz Barriga y Gerardo Hernández: Constructivismo y Aprendizaje Significativo en Estrategias Docentes  para un Aprendizaje significativo. McGraw-Hill. México, 1999.,3.), sostienen: “El constructivismo postula la existencia de procesos activos en la construcción del conocimiento: habla de un sujeto cognitivo que rebasa, a través de su labor constructiva, lo que le ofrece su entorno”.

En éste caso, estamos frente a un enfoque que postula la existencia de un aprendiz que asume un papel activo en la construcción del conocimiento, que es capaz de asimilar la realidad en que vive, y de transformarla.

Pero, desde el momento en que se acepta ésta afirmación, se entiende que quien aprende está demostrando que ha logrado transferir el conocimiento que le permitió transformar su realidad, luego de haberla comprendido. Esto es, decimos que ha alcanzado una competencia.

 Para el efecto, hay que recordar que una competencia se evidencia cuando se relacionan los conocimientos previos de un ente cognoscente con la solución de un problema dado previamente. Es decir, el logro de una competencia trae aparejado el acomodamiento de los conocimientos previos, a través de la organización de un conjunto de esquemas cognitivos, necesarios para el efecto.

De ésta manera, un esquema sirve de base para explicar una acción o una operación singular, en tanto que lograr una competencia compleja requiere poner en práctica varios esquemas al mismo tiempo, para comprender el proceso de su apropiación.

Es así que, al reorganizar esquemas para enfrentar problemas, el individuo cognoscente va conformando su concepción de la realidad. Esto es, “la aprehensión de la realidad es siempre una construcción asimilativa efectuada por el sujeto tanto como una acomodación (adaptación) del sujeto”, ( Vargas, 2005).

 Se concluye que: El aprendizaje es una construcción continua del sí mismo, bajo el supuesto de que se trata de un aprendizaje significativo; es decir, que contribuye al desarrollo del individuo cognoscente. (loc. cit)

Esto significa que el educando adquiere un rol activo en el proceso, que se privilegia el aprendizaje y que, en él, se involucran no sólo elementos cognitivos sino, además, los procedimentales y los actitudinales, pasando el docente a desempeñar un papel de coadyuvancia y no más de protagonismo central.

La importancia del enfoque, es que permite la articulación de competencias. Esto es, al impulsar la movilización de los recursos cognitivos, procedimentales y actitudinales de los educandos, se involucra el desarrollo simultáneo de competencias genéricas y disciplinares y/o profesionales.

Por otra parte, se sostiene que:

“a).  El aprendizaje se facilita gracias a la mediación o interacción con otros.

 b). Es un proceso de reconstrucción de saberes culturales.

 c). Implica un proceso interno de reorganización de esquemas.

 d).Se produce cuando entra en conflicto lo que el alumno ya sabe con lo        que tiene que saber.

e). Se facilita con la construcción de puentes cognitivos entre lo nuevo y lo familiar:”  ( Ibid., 6).

Bajo tal perspectiva, son los contenidos ( que integran la situación problemática por resolver), los que determinan las competencias por desarrollar y, por tanto, la forma de evaluar.

Por otra parte, quedan marcados los lineamientos a seguir con objeto de la creación de un ambiente que propicie la realización de actividades que permitan a los educandos la auto construcción del conocimiento y la realización de trabajo colaborativo.

Es así que el constructivismo constituye la fundamentación didáctico pedagógica de la RIEMS y del MCC.

LA ESTRATEGIA DIDACTICA

Debido a que mi actividad docente se centra en la enseñanza de las asignaturas de matemáticas y, en especial del Cálculo Diferencial e Integral; como punto de partida de la estrategia didáctica de aprendizaje que propongo, he seleccionado la consideración del concepto de la derivada como razón de cambio.

Complementariamente, he seleccionado como competencias genéricas a considerar: 1). Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados, 2). Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos; y como competencia disciplinar articulada: 1). Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.

A lo largo de mi desempeño docente, he encontrado resistencias en los educandos para entender el significado del concepto derivada de una función, porque representa un cambio en la manera de concebir los elementos que definen un ente matemático, a la luz del enfoque tradicional, y de la mecánica de su operatividad.

Cuando se define un ente matemático en álgebra, geometría, trigonometría o geometría analítica, ésta se vuelve un referente, punto de partida para acuñar nuevos conceptos.

(Aclarando el punto, (Pere Marques; 1999), sostiene: “De acuerdo al Socio constructivismo, hay que incidir en la zona de desarrollo próximo, en la que la interacción con los especialistas ofrece un andamiaje donde el aprendiz puede apoyarse”. A propósito de la zona de desarrollo próximo, Vigotsky la define como: “La distancia entre el nivel de desarrollo real del niño tal y como puede ser determinado a partir de la solución independiente de problemas, y el nivel más elevado de desarrollo potencial tal y como es determinado por la resolución de problemas bajo la guía del adulto o en colaboración con sus iguales más capacitados”. (loc. cit.)).

Dicho en otras palabras, por ejemplo en geometría, una vez establecido el Teorema de Pitágoras y revelada su validez para el caso de los triángulos rectángulos, la consideración de la ley de los Senos o la de los Cosenos, en trigonometría, tienen su referente en aquél e, incluso, pueden deducirse sus expresiones algebraicas haciendo uso de la contribución del matemático de Samos.

Por otra parte, el agotamiento de los contenidos del Cálculo Diferencial e Integral, requieren del manejo de las operaciones algebraicas básicas entre polinomios, de la factorización y de la capacidad para resolver ecuaciones de primer y segundo grados, además de las simultáneas.

De modo análogo, se precisa del conocimiento de las funciones trigonométricas y de las leyes de los senos y de los cosenos, además del manejo de las ecuaciones e identidades trigonométricas y de las propiedades de semejanza entre triángulos.

Igualmente, en el caso de la geometría analítica, es necesario que los educandos comprendan la conexión entre relaciones y funciones, su representación gráfica y su representación analítica.

A su vez, el Cálculo Diferencial e Integral constituye el antecedente para el aprendizaje del Cálculo Avanzado, el Análisis Matemático y las Ecuaciones Diferenciales, con todas sus implicaciones sobre las ciencias aplicadas (Física, Química, Biología, Medicina, Ciencias de la Computación, etc.), y las ciencias administrativas.

De aquí la importancia de comprender la noción de Derivada, y su contraparte la Integral. Pues, en lo referente a las aplicaciones, ambos conceptos revelan su  naturaleza como unas de las herramientas más poderosas de las matemáticas.

Sin embargo, cuando se trata del concepto de la derivada nos encontramos, en principio, con tres interpretaciones de la misma: a). Su interpretación geométrica, b). Su consideración como razón de cambio, y c). Su naturaleza funcional. Cada una de ellas, requiere de la comprensión de su esencia, para poder comprender el rango de su aplicabilidad.

 

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA


Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.


( Gráfico tomado de www.vitutor.com/fun/4/a.3_html)

Como lo muestra claramente el esquema asociado: La derivada representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función sobre la que se traza la secante inicial S, en el punto P. Función inicial que tiene asociada una regla de correspondencia, que no es otra cosa más que la expresión algebraica que conecta a las variables x e y.

DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIO

El punto central de controversia de las tres interpretaciones, para el alumno, tiene que ver con el rol que desempeña el concepto de función, que subyace en el trasfondo de cada argumentación.

En el caso de la interpretación geométrica de la derivada, se considera la gráfica de la función sobre la que se traza la secante. Como tal, está relacionada con la definición de las variables independiente y dependiente que dan cuenta de la expresión algebraica de su regla de correspondencia..

En el caso anterior, la expresión simbólica para la derivada se escribe de la forma: dy/dx, como medio para mostrar que la variable independiente viene representada por la letra x y que, la variable dependiente queda identificada por la letra y.

 Esto significa que la variación en la variable independiente (dx), trae como consecuencia una variación en la variable dependiente ( dy), y que la expresión dy/dx puede interpretarse como el ente matemático que registra la variación  de la variable dependiente, conforme varía la independiente.

Este es el punto medular de la discusión que nos ocupa. Pero, además, la razón de cambio aludida es consecuencia del cambio en las variables que definen a la función de partida, la función que se representa simbólicamente como: y = f (x).

Por eso, si representamos con una función el movimiento de un cuerpo que se mueve con velocidad no constante, entonces la función tendrá como variable independiente al tiempo (t), como variable dependiente a su posición ( x), su función de partida tendrá la forma x = x ( t) y la expresión dx/dt representará  la velocidad instantánea del móvil; esto es, la razón de cambio de su posición con respecto al tiempo.

De modo análogo, si representamos por h (variable dependiente) la altura de la columna de un fluido en un recipiente, y por t (variable independiente) el tiempo que transcurre a partir del momento en que comienza a salir a través de un orificio ubicado en su base, la función de partida se representará por h = h ( t), y dh/dt representará la razón de cambio de la altura de la columna del fluido, conforme transcurre el tiempo ( gasto).

El problema básico en actividades de aplicación del tema, que he venido manejando con nuestros estudiantes a lo largo de mi experiencia docente, reside en la dificultad de seleccionar las variables dependiente e independiente, en cada caso

LA DERIVADA COMO FUNCION

Como se aprecia en el esquema adjunto, a cada valor de la variable independiente ( x), la función derivada le asocia su pendiente, que es: dy/dx.

Esto significa que la función derivada, en cada caso, puede representarse gráficamente como una función, que tiene un dominio, un codominio y una regla de correspondencia.

Justamente, las distintas interpretaciones simultáneas que pueden darse al concepto de derivada, constituyen la inercia que presentan los estudiantes frente a tales contenidos, en una primera presentación, por lo que el docente debe clarificar el contexto de cada interpretación a través de la planeación de actividades ad hoc y, en lo posible, marcar las diferencias mediante problemas de aplicación, para que los educandos comprendan la versatilidad del concepto y de sus aplicaciones. En específico, éste es el propósito de la estrategia didáctica seleccionada.

SECUENCIA DIDACTICA

Propósito de la Secuencia Didáctica: Capacitar a los estudiantes para que puedan calcular velocidades y gastos, usando la derivada.

Competencias a Desarrollar y sus Atributos

Competencias genéricas: 1). Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados, 2). Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. (Estas competencias se articulan con la disciplinar: “Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques”).

Sus Atributos, son: 1). Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas, 2). Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas, 3). Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.

Estas competencias, sus atributos y la disciplinar mencionada, constituyen el contexto en el que tendrán lugar todas las actividades definidas para las fases de apertura, desarrollo y cierre de la secuencia didáctica.

Breve descripción de la estrategia general: Adquiriendo los estudiantes la capacidad de entender la naturaleza de las funciones polinomiales y de obtener su derivada, podrán calcular velocidades y gastos.

Actividades de apertura

En ésta fase, tendrán lugar dos actividades: La realización de un exámen de diagnóstico y la caracterización de las funciones polinomiales.

Tiempo asignado para la actividad 1: 2 horas.

Actividad 1: Examen diagnóstico.

Pregunta Uno.- Dados los polinomios:  5x4-3x3-2x2+x-5, x3-4x2+2x-3 encontrar su a). adición, b). resta, c). Multiplicación, y d). división.    

Pregunta Dos.- Simplificar las siguientes expresiones.

        a). 4x3+5x2-3x-8/ x1/2 ;  b). (2x4+4x2+x)1/2/ x3/2  ;  c). (3x5-4x3+x2-3)/  (x1/2)3/2

        d). x-(x-1)1/2 = 3x-7  ;  e). x+ (4x+1)1/2= 5 ;   f). (5x-1)1/2+(x+3)1/2 = 4

Pregunta Tres.- Factoriza las siguientes expresiones:

         a). 12x2-x-6   ;    b). 10y2+11y+3   ;    c).  x6-8y12  ;    d). x12+y12

Actividades del docente y de los alumnos: El docente selecciona los reactivos del examen diagnóstico; los alumnos resuelven el cuestionario en equipo y, al final, lo califican intercambiándolos entre equipos distintos.

Los materiales utilizados, son los cuestionarios, hojas de respuesta y lápices o plumas.

Los productos, son: Los cuestionarios contestados.

Tiempo asignado para la actividad 2: 1 hora.

Actividad 2: En equipo, los alumnos graficarán expresiones polinomiales como las siguientes:

                               X3-2x2+x-5   ;   2x2-3x+1   ;   3x2+5x-3    

En cada caso, obtendrán: a). Puntos de corte con los ejes coordenados, b). Aplicando la definición de función, determinarán cuáles de ellas lo son,  c). La variación de la gráfica, conforme se seleccionan diferentes intervalos como dominio de la función, y d). La derivada de cada función.

Actividades del docente y de los alumnos: El docente mostrará que cada expresión polinomial, puede asociarse con una función polinomial; los alumnos comprenderán el significado geométrico de la correspondencia entre dominio y codominio de una función.

Los materiales utilizados, son: la calculadora graficadora, la conexión a internet, el cañón electrónico, la laptop, el software T-I, el pizarrón, su cuaderno y su lápiz o pluma.

Los productos, son: las gráficas elaboradas y las derivadas obtenidas.

Actividades de desarrollo

Previo al inicio de ésta fase, el docente presentará gráficas diversas de funciones a los alumnos, usando el cañón electrónico y el programa de la calculadora T-inspire Cx Cas, de la Texas Instruments.

En ésta etapa, se realizarán tres actividades: a). Determinar la pendiente de la tangente a una curva en un punto cualesquiera, b). Calcular la rapidez con que se llena un depósito cilíndrico con agua, y c). Calcular el valor mínimo que asume una función polinomial.

a). Tiempo asignado para la actividad 1; 1 hora.      

En equipo, los alumnos graficarán y derivarán la función f(x) = x3/3 – 2x2 + 3x – 8 y, en seguida, obtendrán los valores siguientes: f´(0), f´(1), f´(2), f´(3), f´(4).

A continuación, interpretarán el significado geométrico de los resultados, considerando que la derivada representa la pendiente de la tangente en un punto cualquiera, de la función f(x).

Actividades del docente y de los alumnos: El docente construye la función que los alumnos habrán de graficar y derivar, teniendo en mente orientar el resultado a fin de que los estudiantes asocien la derivada en cada punto del dominio de f(x), con la pendiente de la recta tangente en ese punto determinado; los alumnos reconocerán a la pendiente en un punto, como la derivada de la función en ese punto, e intercambiarán resultados.

Los materiales usados son: la calculadora graficadora, la conexión a internet, el cañón electrónico, la laptop, el software T-I, el pizarrón, el cuaderno y su lápiz o pluma.

Los productos son: La gráfica, las pendientes obtenidas y su interpretación, entregados en un reporte, por escrito, al docente.

b). Tiempo asignado a la actividad 2: 1 hora.

En trabajo colaborativo, los estudiantes resolverán el siguiente problema: A un depósito cilíndrico de base circular y 5 m de radio, le está entrando agua a razón de 100 lts/seg. Calcular la rapidez a la que sube la superficie del agua.

En primer lugar, se pretende que los alumnos homologuen dimensiones. Esto es, convierten los litros a metros cúbicos ó convierten los litros a centímetros cúbicos y el radio a centímetros.

1). Por sencillez, conviene convertir los litros a metros cúbicos: 1 m3 equivale a 1000 litros.  

2). Acto seguido, requerirán recordar la fórmula para calcular el volumen de un cilindro circular recto: V = Pi r2h, donde r y h son, respectivamente, el radio y la altura del cilindro.  

3). A continuación, deberán discriminar la variable con respecto a la que habrán de derivar. Desde luego, tendrá que ser t porque, es la que permitirá dar expresión a al volumen de agua que ingresa al cilindro por unidad de tiempo. Análogamente, habrán de observar que h varía en el problema conforme transcurre el tiempo, y que r permanecerá constante.

4). Obtendrán la derivada del volumen respecto de la altura y, despejarán la expresión que se les solicita:

dV / dt = Pi r2 dh / dt  y, de aquí:  dV / dt / Pi r2 = dh / dt.

5). Sustituyendo: dh / dt = 0.250 m3/seg / (3.14) (25 m2) = 0.025 m3 / seg.

Actividades del docente y de los alumnos: El docente seleccionará el tipo de problema por resolver, sobre la base de que los alumnos tendrán que hacer un recuento de los conocimientos previos para el efecto. Los alumnos resolverán en equipo el problema propuesto, y presentarán a sus compañeros otros procedimientos para la solución del problema propuesto, en caso de haberlos.

Los materiales utilizados son: Calculadora graficadora, cuaderno y lápiz o pluma.

Los productos son los reportes, por escrito, que los alumnos presentarán al docente.

c). Tiempo asignado a la actividad 3: 1 hora.

1). De nueva cuenta, en trabajo colaborativo, los alumnos retomarán la gráfica de la función elaborada en la actividad uno, y se les pide que hagan un resumen, por escrito, del comportamiento de la función y los valores que toma la pendiente en cada punto de la función, en el intervalo cerrado: [0,4].   

2). Como resultado de la actividad anterior, interpretarán el significado de las pendientes: positivas, negativas e iguales a cero.   

3). Comparando la gráfica y los valores de la pendiente asimilarán el hecho de que los valores extremos de una función ocurren en puntos del dominio en los que la derivada vale cero.

Actividades del docente y de los alumnos: El docente seleccionará la función cuya gráfica haga explícita la existencia de valores extremos de la función, en un intervalo dado del dominio. Los alumnos entregarán el reporte de la actividad, por escrito, al docente.

Materiales utilizados: Calculadora graficadora, cuaderno y lápiz o pluma.

Los productos: Son los reportes y la gráfica analizada.

La competencia a desarrollar, es: “Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando enfoques diferentes”.

Actividades de cierre

En ésta fase, se desarrollarán dos actividades: a). Solución de un problema de velocidades, y b). Solución de un problema de gasto.

a). Tiempo asignado a la actividad 1: ½ hora.

Se propone a los estudiantes la solución, en equipo, del siguiente problema: Un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba deja de subir al cabo de 10 seg. ¿Con qué velocidad inicial fue lanzado y a que altura llegó?.

Los pasos que los alumnos van a dar, y sobre los que se les va a evaluar, son los siguientes:

1.- Identificar la función que van a usar: ( s = vot – ½ gt2).   

2.- Seleccionar las variables que definirán la solución: s y t.

3.- Escoger la variable independiente: t.

4.- Derivar la función respecto al tiempo: ( ds / dt = vo – gt ).   

5.- El cuerpo deja de subir cuando: v = 0. Esto es: vo = gt.   

6.- Así que, para t = 10 seg: vo = 98.1 m / seg.   

7.- Por tanto: s = (98.1 m / seg)(10 seg) – ½ (9.81 m / seg2)(10 seg)2 = 490.5 m. 

b). Tiempo asignado a la actividad 2: ½ hora.

 Se pide a los alumnos resolver, en equipo, el siguiente problema: Por el vértice de un embudo cónico, de radio 10 cm y altura 20 cm, sale agua a razón de 2 cm3/ seg. ¿Con qué rapidez baja el nivel del líquido, cuando dicho nivel está a 4 cm del vértice?.

Los pasos a seguir por el alumno, son:

1.- Usar la función que define el volumen de un cono: V = 1 / 3 Pi r2h.  

2.- Identificar las variables: Por las condiciones del problema, V, r y h varían.

3.- Para que V se convierta en una función de una variable, se necesita relacionar r y h, con objeto de que quede una sola variable independiente. 

4.- Como se pregunta por la rapidez con que baja el nivel del líquido, la variable independiente tiene que ser h.

5.- Se  relaciona h con r a través de la geometría del problema: r / h = 10 / 20. Esto es: r = h/2.  

6.- Luego: V = (1/3)Pi(h/2)2h  y  dV/dt = (1/12)Pi(3)h2( dh/dt).  

7.- O sea: dh/dt = 4/Pih2(dV/dt).    

8.- Como el agua está saliendo del cono: dV/dt = -2 cm3/seg y h = 4 cm:

dh/dt = - 1/ 2Pi.

(Problemas tomados del texto: Francisco de la Borbolla, Luis de la Borbolla, Cálculo Diferencial e Integral. Esfinge, México. 2000. 105 y 114).

Actividades del docente y los alumnos: El docente, en cada caso, seleccionará el problema por resolver, incluyendo los elementos que le interese que trabajen los alumnos. Los alumnos resolverán los problemas colaborando en equipo y entregarán su resumen, por escrito, al docente. Este, intercambiará los reportes de los equipos para su evaluación.

Materiales utilizados: Cuadernos, lápices o plumas y calculadora graficadora. 

Los productos, son: Los reportes de los alumnos, por escrito.

PLAN DE EVALUACION

El proceso Planeación Evaluación constituye la columna vertebral de la RIEMS, porque tiene como objetivo lograr el mejoramiento continuo del aprendizaje.

Esto es posible, bajo la premisa de que se debe evaluar lo que se ha seleccionado enseñar previamente.

Desde luego, no hay que olvidar que, en el marco constructivista, la evaluación es una actividad sistemática y continua que tiene por finalidades: a). Impulsar la formación personal de los educandos, b). Justipreciar el rendimiento de los estudiantes, tomando como referencia la capacidad, esfuerzo y estado previo de los saberes de cada uno de ellos, y, c). Mejorar permanente el proceso educativo, en base a detectar y replantear sus deficiencias.

Ahora bien, ¿cómo detectar las deficiencias para replantearlas?: determinando lo que hay que evaluar en el caso de los contenidos conceptuales, procedimentales y actitudinales en los que se involucre a los estudiantes.

En el ámbito conceptual, los conocimientos que pueden desglosarce como información, comprensión o relación, deben considerarse; además de la asimilación de conceptos y sistemas conceptuales, y de la aptitud para relacionar acontecimientos, hechos y conceptos.

En lo que toca al área procedimental, no puede pasarse por alto la habilidad de los alumnos para manejar métodos, técnicas y procedimientos, su capacidad para pensar y resolver problemas,  así como de análisis y síntesis.

La parte actitudinal tiene que ver con el desarrollo de valores personales y sociales. Cualidades sustanciales para que exista un trabajo colaborativo.

 Una vez considerado lo que hay que evaluar, sigue la consideración de ¿cuándo hay que evaluar?, por la sencilla razón de que necesitamos identificar las insuficiencias con la finalidad de corregirlas y mejorar así, el proceso educativo.

Dado que el agotamiento de cualquier contenido marca el fin de cada ciclo de aprendizaje y predispone al inicio del siguiente, consideramos una evaluación inicial, la evaluación formativa (que nos permite reajustar las estrategias didácticas que seguimos en el aula, en base a detectar las dificultades e insuficiencias de los alumnos), y la evaluación sumativa ( que nos permite evaluar el producto que presentan los alumnos al final de cada una de las fases del proceso de aprendizaje).

Siguiendo con nuestra secuencia, procedemos ahora a definir los elementos del proceso de evaluación:

Las competencias a evaluar.

Los aprendizajes seleccionados, que orientan el desarrollo de las competencias.

Los productos o evidencias, que muestran el desempeño de los estudiantes durante o al final del proceso educativo planeado.

Los indicadores de desempeño: Etiquetas que indican lo que hay que evaluar.

Los criterios de evaluación: Establecen el tipo de desempeño que se quiere evaluar, del alumno, en un contexto determinado.

Los parámetros: Indican la calidad del desempeño que se evalúa.

Los instrumentos para evaluar el producto o desempeño en cuestión; involucran los indicadores, los criterios y parámetros de evaluación.

Los momentos del proceso educativo: en éste caso, las evaluaciones inicial, formativa y sumativa.

El porcentaje de la valoración que se le asigna a cada criterio de evaluación.

JUSTIFICACION

(Román, R y Diez, E (1989) en Blanco, O. E. Tendencias de la Evaluación de Aprendizajes en Revista Teoría de Didáctica de las Ciencias Sociales, enero diciembre, No. 009. Universidad de los andes. Mérida Venezuela, 2004. pp. 111-130), sostienen que los paradigmas fundamentales en psicología y educación vigentes en el siglo XX, son: a), Paradigma conductista, b). Paradigma cognitivo y c). Paradigma ecológico.

Para el paradigma conductista, la evaluación gravita en torno al producto y del cambio de conducta que adquiere el estudiante al final de la jornada de aprendizaje, ignorando los pasos intermedios que los educandos tengan que llevar a cabo para apropiarse del conocimiento.

(Román, M y Diez, E.  1989, 57), a propósito del conductismo sostienen: “El modelo de enseñanza subyacente, es un modelo que al condicionar, facilita el aprendizaje. La enseñanza se convierte en una manera de adiestrar-condicionar para así aprender-almacenar..”.

No obstante, por estas características, la evaluación conductista se aplica actualmente, en referencia a la evaluación de procesos como el manejo de algoritmos matemáticos, la asimilación de hechos históricos, o la aprehensión de datos que precisan de repetición para su memorización (conocimientos factuales).

En contraste, el paradigma cognitivo considera el proceso de aprendizaje centrado en el estudiante, y asigna al docente el status de mediador.

Uno de los aportes fundamentales de éste enfoque, está relacionado con la autoconstrucción del conocimiento, por parte de los alumnos.

El punto fino, aquí, tiene que ver con la manera en que describe la generación de un nuevo conocimiento, a partir de otro relacionado,  que le antecede en la línea de tiempo: Es necesario plantear un conflicto cognitivo entre los nuevos contenidos y los saberes previos que, al final, favorezca su enlace.

Por su parte, el enfoque ecológico es el que estudia la evaluación a partir de las relaciones que se establecen entre el sujeto y el entorno en el cual se desarrollan las actividades.

Para (Román, M y Diez, E. 1995, 9),” éste enfoque utiliza como metáfora básica el escenario de la conducta escolar y se preocupa sobre todo por las interrelaciones persona-grupo y persona-grupo-medio ambiente. El aprendizaje contextual y compartido es una de sus principales manifestaciones”.

Adicionalmente, en la línea de éste enfoque, (Domínguez, G y Mesona, J., 1996; 357), rechazan el concepto de evaluación como control; “la evaluación tiene sentido como una valoración del proceso en el que tanto el evaluador como el evaluado forman un solo equipo y han participado y pactado la definición de los criterios que van a servir como puntos de referencia en la evaluación”.

De éste enfoque, se desprende la necesidad de realizar evaluación y co evaluación  del proceso de aprendizaje, No sólo esto, también postula la realización de evaluaciones colegiadas en el que se cubran aspectos diversos de la actividad escolar de los educandos.

RUBRICA

        Competencias
                         Principales atributos
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
 
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
 
 
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
. Maneja las tecnologías de la información y la comunicación para obtener información y expresar ideas.
 
 
. Propone maneras de solucionar un problema o desarrollar un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos.
        Competencia
                            Indicadores
          Tecnológica
     Navega en internet.
 
 
            Cognitiva
 En relación al tema “Derivada como razón de cambio”.
 
 
 
 
       Procedimental
En el desarrollo del tema.
 
 
        Actitudinal
Durante el trabajo escolar.
 
 
Demostró saber realizar las actividades siguientes:
. Accesar a cualquier página
. Baja información de Cálculo Diferencial
 
. Distinguió las tres interpretaciones de la derivada
. Asoció correctamente el valor de la derivada en un punto con el valor de su pendiente.
. Identificó los valores máximo y mínimo de una función
. Comprendió el criterio para localizar y obtener valores máximo y mínimo de una función
. Asimiló la manera de aplicar el concepto razón de cambio a problemas reales.
 
. Graficó correctamente las funciones
. Aplicó correctamente la fórmula para derivar una potencia, sea de un monomio o de un binomio.
 
. Participó en el trabajo en equipo
. Aportó elementos para la solución de los problemas.
.Trató respetuosamente a sus compañeros.

 

La evaluación se hará por áreas, con la siguiente escala:

Nivel de realización óptimo: 3.

Nivel medio: 2.

Nivel bajo: 1.

No lo hizo: 0.

 

RECURSOS DIDACTICO PEDAGOGICOS

En el caso que nos ocupa, los recursos didácticos a utilizar, son:

Cañón Electrónico, Programa Operativo de la Calculadora T-Inspire Cx CAS, Calculadora graficadora T-Inspire Cx CAS, Pantalla de Proyección, Marcador láser, Pintarrón y Marcadores, Cuadernos y Plumas, Servicio de Internet.

Los recursos didácticos utilizados forman parte de la mediación que lleva a cabo el docente, y tienen por finalidad propiciar un ambiente que contribuya a la generación de aprendizajes significativos en los alumnos.  

En el caso de las actividades de apertura, la mediación se da a través de la graficación de funciones pues, al trazar sus puntos de corte con los ejes, el alumno adquiere una noción intuitivo-visual de las características más importantes de las curvas polinomiales, aprecia sus curvaturas y los puntos donde cambia de dirección.

En las actividades de desarrollo, gráficamente aprecia las diferencias entre derivada como pendiente de la tangente a la curva en un punto cualesquiera, como razón de cambio y como función.

El uso de la calculadora graficadora le permite distinguir un valor máximo de otro mínimo y de asimilar el hecho de que, tales valores de la función, ocurren cuando la pendiente de la tangente en cualquier punto es cero (asume una posición horizontal).

En las actividades de cierre, el uso del internet permite proyectar en pantalla distintos tipos de funciones y, lo que es más importante, que el alumno entienda que las funciones bajo consideración pueden ser modeladas (deducidas), a partir de las condiciones específicas de cada problema.

REFLEXIONES GENERALES FINALES: CONCLUSIONES

Resta, finalmente, ponderar las implicaciones de la construcción del diseño de la estrategia didáctica que propongo.

a). Desde el punto de vista teórico, consideré de manera fundamental propiciar en el desarrollo de actividades de la estrategia didáctica, impulsar el trabajo colaborativo, la autoevaluación y la coevaluación entre los alumnos dada la importancia que éstos elementos tienen en el proceso de aprendizaje (Corredor, 2003,p. 3-7).

De modo análogo, al plantear en la propuesta la necesidad de que los estudiantes tomen un rol activo en la construcción de su conocimiento, al detallar actividades en las que el peso de la acción de enlazar conocimientos previos con los nuevos recae en ellos, pretendo propiciar la obtención de evidencias que permitan hacer una evaluación integral de su desempeño (Tobón,2008,d. 26-28).

En ambos casos, el objetivo fue generar aprendizajes significativos.

b). En cuanto a la metodología, rescato la técnica discursiva como medio de interacción entre docente-alumnos y entre los propios alumnos, como forma complementaria para que, con la mediación (Hernández, 2010,1-3) del uso de la laptop y de la calculadora graficadora, las interpretaciones de la derivada sean esclarecidas.

c). Las consecuencias prácticas de la propuesta conllevan a facilitar el acceso a la comprensión posterior de la función integral, y sus aplicaciones. Con esto, se propicia que los educandos adquieran una visión mejor estructurada del Cálculo Diferencial e Integral, y entiendan mejor la naturaleza de sus aplicaciones.

d). La propuesta queda enmarcada en el contexto de la RIEMS y del MCC, toda vez que la estructura de su planeación comprende la articulación de competencias genéricas con las disciplinares.

FUENTES DE CONSULTA

Añorve Gladys, et. al, 2000. Estrategia Didáctica en Especialización en Competencias Docentes para la Educación Media Superior. UPN. México, D.F.

Blanco O. E. 2004. Tendencias de la Evaluación de Aprendizajes en Revista: Teoría Didáctica de las Ciencias Sociales, Enero-Diciembre No. 009. Universidad de los Andes. Mérida, Venezuela.

Corredor Martha. 2003. El Aprendizaje Colaborativo: Una Estrategia de Aprendizaje para la Vida. UIS, Bucaramanga.

De la Borbolla Francisco y De la Borbolla Luis. 2000. Cálculo Diferencial e Integral. Esfinge. México, D.F.

Díaz Frida y Hernández Gerardo. 1999. Constructivismo y Aprendizaje Significativo en Estrategias Docentes para un Aprendizaje Significativo. Mac.Graw-Hill. México.

G. y Mesona (Coordinadores). 1996. Manual de Organización de Instituciones Educativas. Madrid: Escuela Española.

INEGI. 2010. Censo de Población y Vivienda. INEGI. México, D.F.

Marqués Pere. 1999. Concepciones sobre el Aprendizaje. UAB.

Prieto Ana María (Coordinadora). 2010. El Proceso Didáctico como Proceso de Comunicación y sentido de la mediación Pedagógica. UPN. México, D.F.

SEP. 2008. Acuerdo Secretarial 447. SEP. México, D.F.

SEP (Díptico). 2008. Perfil del Egresado en la Educación Media Superior. SEP. México, D.F.

Vargas Xavier. 2005. El Aprendizaje y el Desarrollo de las Competencias en Reporte sobre las Competencias. ITESO. 
www.vitutor.com/fun/4/a.3_html